1. Ile jest liczb naturalnych o różnych cyfrach, mniejszych niż 10⁷.
   
   
2. Udowodnić, stosując zasadę indukcji matematycznej, wzór dwumianowy Newtona.
   
   
3. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n,
   (n nad 0) ² + (n nad 1) ² + ... + (n nad n) ² = (2n nad n)
   
   
4. Powiemy, że dwie k elementowe wariacje zbioru {1,2,...,n} są równoważne, jeśli różnią się tylko kolejnością elementów. Ile klas abstrakcji ma ta relacja równoważności? Odpowiedź uzasadnić.
   
   
5. Na ile sposobów można przedstawić daną liczbę naturalną n jako sumę dwóch liczb naturalnych.
   
   
6. Udowodnić, korzystając z nierówności n! > (n/e)ⁿ, że dla dowolnego naturalnego k < n, (n/k)^k ≤ (n nad k) ≤ (en/k)^k .
   
   
7. Udowodnić, że w każdej 1000 osobowej grupie są co najmniej 3 osoby, które obchodzą urodziny dokładnie tego samego dnia.
   
   
8. Na ile sposobów można wybrać 3 różne liczby ze zbioru {1,2, ... , 100} tak, by ich suma była parzysta?
   
   
9. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą równości:
1. (n nad 1) + 2 (n nad 2) + 3 (n nad 3) + ... + n (n nad n) = n 2^(n-1),
2. (n nad 1) - 2 (n nad 2) + 3( n nad 3) + ... +(-1) ^(i-1) i(n nad i) + ...
   +(-1) ^(n-1) n(n nad n) = 0
3. 2 ⋅ 1 ⋅ (n nad 2) + 3 ⋅ 2 ⋅ (n nad 3) + ... + n (n-1) (n nad n) = n(n-1) 2^(n-2) .

« poprzedni punkt

następny punkt »