« poprzedni punkt   następny punkt »


13.1. Zdarzenia

Podobnie jak wszystkie teorie matematyczne, rachunek prawdopodobieństwa wychodzi od pewnych pojęć pierwotnych, które nie są definiowane (por. punkt 8.6). Takim pojęciem w rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne. Ogół zdarzeń elementarnych w rozważanym zjawisku (doświadczeniu) nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych, oznaczamy ją zwykle symbolem Ω. Pojęcie zdarzenia elementarnego i przestrzeni zdarzeń wyjaśnimy na konkretnych przykładach.

Przykład 13.1.1

(a) Niech doświadczenie polega na rzucie sześcienną kostką do gry. Obserwujemy liczbę wyrzuconych oczek na górnej ściance kostki. Zdarzenia elementarne polegają na wyrzuceniu określonej liczby oczek. Oczywiście możemy wyrzucić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek. Zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω składa się w tym doświadczeniu z 6 zdarzeń, ktore możemy identyfikować z liczbą wyrzuconych oczek Ω = {1,2,...,6}.
(b) Niech doświadczenie polega na rzucie monetą. Obserwujemy tylko widoczną powierzchnię monety i rejestrujemy tylko fakt, czy to awers, czy rewers. Tym razem są tylko dwa zdarzenia elementarne (o ile rzucamy polskimi monetami): wyrzucenie orła i wyrzucenie reszki. Oznaczmy te zdarzenia odpowiednio symbolami O i R. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest w tym przypadku dwuelementowa, Ω = {O,R}.
(c) Niech doświadczenie polega na rzucie dwoma monetami. Podobnie jak w poprzednim doświadczeniu, abstrahujemy od wartości monet, a obserwujemy tylko ich górne powierzchnie. Zdarzenia elementarne to takie pary uporządkowane (x, y), że x,y ∈ {O,R} i x odpowiada pierwszej, a y drugiej monecie. Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z czterech zdarzeń (O, O), (O, R), (R, O), (R, R).

Rys. 13.1.1 Przestrzeń zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na rzucie kostką sześcienną.

Przykład 13.1.2

(a) Na zawodach narciarskich każdy zawodnik oddaje 2 skoki. Wynik każdego skoku można uznać za zdarzenie losowe. Długość skoku mierzymy z dokładnością do 0.5 m. Wiadomo ponadto, że na rozważanej skoczni nie można oddać skoku dłuższego niż 140 m. Zbiór zdarzeń elementarnych możemy utożsamić ze zbiorem par uporządkowanych (x,y), gdzie x jest długością pierwszego, a y długością drugiego skoku. Mamy więc Ω = {(x,y): x długość pierwszego, a y długość drugiego skoku}. Zarówno x jak i y mogą przyjąć dowolną z liczb 0, 0.5, 1, 1.5, 2,... 135.5, 140. Ponieważ w tym zbiorze jest 281 liczb, zatem | Ω | = 281*281. Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z 78 961 zdarzeń.
(b) Ocena końcowa pewnego przedmiotu zależy od liczby punktów uzyskanych na dwóch sprawdzianach i na egzaminie. Na każdym sprawdzianie można uzyskać co najwyżej 20 punktów, a na egzaminie co najwyżej 60. Przestrzenią zdarzeń elementarnych Ω może być w tym przypadku zbiór trójek (x,y,z), gdzie x, y są liczbami punktów uzyskanymi ze sprawdzianów, a z liczbą punktów uzyskanych z egzaminu. Mamy Ω ={(x,y,z) ∈ N3: x ≤ 20, y ≤ 20, z ≤ 60}. Taka przestrzeń zdarzeń ma 21*21*61 różnych elementów.

Pytanie 13.1.1 Ile elementów zawiera przestrzeń zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na rzucie 3 kostkami sześciennymi do gry?

Zadanie 13.1.1 Określ przestrzeń zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na pokolorowaniu trójpaskowej flagi trzema różnymi kolorami a, b, c.

Odpowiedź: Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z 6 (=3!) trójelementowych słów : abc, acb, bac, bca, cab, cba. Każde słowo określa kolejno kolor pierwszego, drugiego i trzeciego paska.


Definicja 13.1.1

Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Dowolny podzbiór A przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem. Powiemy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynikiem doświadczenia jest zdarzenie elementarne należące do A.

Przykład 13.1.3

W doświadczeniu z rzutem jedną kostką sześcienną (por. przykład 13.1.1(a)) zdarzenia elementarne polegają na wyrzuceniu 1, 2, ... lub 6 oczek, Ω = {1,2,3,4,5,6}.

(a) Zdarzenie A = "wypadła parzysta liczba oczek", to podzbiór trójelementowy {2, 4, 6} przestrzeni Ω.
(b) Zdarzenie B ="wypadło więcej niż 4 oczka", zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6 oczek, czyli B = {5, 6}.
(c) Zdarzenie C ="wypadły co najwyżej 4 oczka", zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 1 lub 2 lub 3 lub 4 oczka, zatem C = {1, 2, 3, 4}.
(d) Zdarzenie D = " liczba wyrzuconych oczek jest kwadratem liczby naturalnej" zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło jedno oczko lub 4 oczka, czyli D = {1, 4}.
(e) Zdarzenie E = "liczba wyrzuconych oczek przystaje do 1 modulo 3", zachodzi wttw, gdy liczba wyrzuconych oczek przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Czyli D = {1, 4}.

Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych, a A zdarzeniem w tej przestrzeni, A ⊆ Ω. Jeśli A = {a1, a2, ..., an}, to zdarzenia elementarne a1, a2, ..., an nazywamy zdarzeniami sprzyjającymi zdarzeniu A.

Powiemy, że zdarzenie A jest pewne, gdy A = Ω, oraz powiemy, że zdarzenie jest niemożliwe, gdy A = ∅.

Uwaga. Nie zawsze jest tak, że przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończona, a zdarzenia są skończonymi podzbiorami tej przestrzeni. W tym wykładzie jednak, będziemy rozważać jedynie przypadek dyskretny, wszystkie rozważane przez nas doświadczenia będą miały skończoną przestrzeń zdarzeń, a wszystkie rozważane zdarzenia tylko skończoną liczbę zdarzeń sprzyjających.

Rys. 13.1.2 Przestrzeń zdarzeń elementarnych w doświadczeniu z rzutem dwoma kostkami sześciennymi. Zaznaczono zdarzenia A=" co najmniej raz szóstka", B= "suma wyrzuconych oczek wynosi 7", oraz przecięcie zdarzeń A i D, gdzie D= "co najmniej raz wypadła piątka".

Przykład 13.1.4

W doświadczeniu polegającym na rzucie dwiema rozróżnialnymi kostkami sześciennymi do gry (np. oznaczonymi jako kostka pierwsza i kostka druga), mamy 36-cio elementową przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {wij : i, j = 1, 2, ...6}, gdzie, jak łatwo się domyślić, wij jest zdarzeniem elementarnym polegającym na wyrzuceniu na pierwszej kostce i oczek, a na drugiej kostce j oczek, por Rys.13.1.2.

(a) Zdarzenie A = "co najmniej raz wypadła szóstka", to podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych złożony z wszystkich tych zdarzeń elementarnych, w których na pierwszej kostce wypadła szóstka i tych wszystkich zdarzeń elementarnych, w których na drugiej kostce wypadła szóstka, czyli A = {w6i : i = 1, 2, ...6} ∪ {wi6 : i = 1, 2, ...5, 6}. Jest więc 11 zdarzeń elementarnych w61, w62, w63, w64, w65, w66, w16, w26, w36, w46, w56, sprzyjających zdarzeniu A.
(b) Zdarzenie B = "suma oczek wynosi 7", to podzbiór {w16, w25, w34, w43, w52, w61} przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. Jest tylko 6 zdarzeń elementarnych w16, w25, w34, w43, w52, w61 sprzyjających zdarzeniu B.
(c) Zdarzenie C = "iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą", to podzbiór złożony z wszystkich zdarzeń elementarnych z wyjątkiem 9 następujących zdarzeń w11, w13, w15, w31, w33, w35, w51, w53, w55.
(d) Zdarzenie "suma oczek na obu kostkach wynosi nie więcej niż 12 " jest zdarzeniem pewnym, bo każde zdarzenie elementarne ma tę własność.
(e) Zdarzenie "suma oczek na obu kostkach wynosi 1" jest zdarzeniem niemożliwym, bo na każdej kostce musimy wyrzucić co najmniej jedno oczko, co w sumie daje co najmniej dwa oczka.

Pytanie 13.1.2  Rozważmy doświadczenie z przyklad 13.1.4. Ile zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniu "liczba oczek na pierwszej kostce jest dzielnikiem liczby oczek na drugiej kostce"?

Na zdarzeniach wykonujemy takie same operacje jak na zbiorach. Nic dziwnego, przecież zdarzenia to zbiory.

Powiemy, że dwa zdarzenia w pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω są identyczne, jeśli mają te same zbiory sprzyjających zdarzeń elementarnych.

W przykładzie 13.1.3 zdarzenia D = "liczba wyrzuconych oczek jest kwadratem liczby naturalnej" i E = "liczba wyrzuconych oczek przystaje do 1 modulo 3 ", chociaż opisywały zdarzenia zupełnie inaczej, są identyczne, bo sprzyjają im dokładnie te same zdarzenia elementarne. W doświadczeniu z rzutem 2 kostkami sześciennymi (por. przykład 13.1.4) zdarzenia C = "iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą" i zdarzenie "co najmniej na jednej z kostek wypadła liczba parzysta" są zdarzeniami identycznymi, bo dokładnie te same zdarzenia elementarne należą do obu zdarzeń.

Niech A, B będą zdarzeniami, A, B ⊆ Ω . Wówczas zdarzenie A ∪ B nazywamy sumą zdarzeń i zgodnie z definicją sumy teoriomnogościowej zbiorów sprzyjają mu te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A lub sprzyjają zdarzeniu B. Zdarzeniu A ∩ B sprzyjają tylko te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zarówno zdarzeniu A jak i zdarzeniu B. Zdarzenie A ∩ B nazywamy iloczynem zdarzeń.

Zdarzenie A' = Ω - A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A. Zdarzeniu A' sprzyjają tylko te zdarzenia elementarne rozważanej przestrzeni, które nie należą do A. Powiemy, że dwa zdarzenia A i B wykluczają się (albo są rozłączne) wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ B = ∅ .

Przykład 13.1.5

  1. Rozważmy doświadczenie z rzutem dwoma kostkami do gry i zdarzenia A, B, C, omawiane w poprzednich przykładach, por. Rys.13.1.2. Niech poza tym D = "co najmniej raz wyrzucono 5". Iloczyn zdarzeń A i B, to zdarzenie {w16, w61}. Iloczyn zdarzeń A i D, to zdarzenie "suma wyrzuconych oczek wynosi 11". Są tylko 2 zdarzenia sprzyjające temu zdarzeniu {w56, w65}. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia D jest zdarzenie "ani razu nie wyrzucono 5". Jest 25 zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu D'.
  2. Niech będzie urna z 52 kartami. Rozważamy doświadczenie polegające na wylosowaniu kolejno 2 kart, z tym, że po wylosowaniu karty wkładamy ją znów do urny (losowanie ze zwracaniem). Zdarzenia A = "wylosowano za każdym razem asa" i B = "za drugim razem wylosowano dziesiątkę" są zdarzeniami wyłączającymi się. Nie ma takich zdarzeń elementarnych, które sprzyjają równocześnie obu zdarzeniom. Natomiast zdarzenie, które jest sumą zdarzeń A i B ma aż 4*4 + 52*4 zdarzeń sprzyjających.

Pytanie 13.1.3 Jaka jest moc zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu "liczba oczek wyrzuconych na pierwszej kostce jest większa niż liczba oczek wyrzuconych na drugiej kostce" w doświadczeniu z rzutem dwiema kostkami sześciennymi do gry?


« poprzedni punkt   następny punkt »