13.3. Prawdopodobieństwo warunkowe

Przykład 13.3.1

W urnie znajdują się cztery ponumerowane kule: dwie czarne o numerach 1, 2 i dwie białe o numerach 3 i 4. Losujemy dwie kule bez zwracania (tzn. po wylosowaniu pierwszej kuli, odkładamy ją na bok i nie bierze ona udziału w drugim losowaniu). Przestrzeń zdarzeń elementarnych to {(x,y): x ≠ y i x,y = 1,2,3,4}. Zatem | Ω| = 4*3 =12. Zakładamy, że zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, czyli prawdopodobieństwo wylosowania pary (x,y) jest takie samo dla wszystkich x i y, P(x,y)=1/12.

Rozważmy zdarzenia: A = "za drugim razem biała kula", B = "za pierwszym razem kula czarna". Zdarzeniu A sprzyja 6 zdarzeń: (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), (4,3), zatem P(A) = 6/12. Zdarzeniu B sprzyja też 6 zdarzeń elementarnych (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4).

Jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie B po pierwszym losowaniu, to jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A? Jest oczywiste, że wiedząc, że pierwsza wylosowana kula była czarna, wiemy, że w następnym ciągnieniu mamy do dyspozycji tylko jedną kulę czarną a dwie białe, tzn. albo kule 1, 3, 4 albo kule 2, 3, 4. W tej nowej sytuacji, zbiór możliwych zdarzeń w drugim losowaniu to albo kula czarna, albo biała z numerem 3, albo biała z numerem 4. Mamy więc tylko 3 możliwe sytuacje. Ponieważ dwie z nich sprzyjają zdarzeniu A, więc prawdopodobieństwo zdarzenia A przy założeniu, że zaszło zdarzenie B wynosi 2/3.

Definicja 13.3.1

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, oznaczane P(A|B), wyraża się wzorem:

P(A|B) = P(A ∩ B)/ P(B), o ile P(B) >0.

Przykład 13.3.2

(a) Rozważmy jeszcze raz sytuację opisaną w przykładzie 13.3.1. Prawdopodobieństwo zdarzenia A ∩ B wynosi 4/12, a prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi 6/12. Zatem P(A|B) = 4/6 = 2/3.
(b) Rzucamy trzema różnymi kostkami sześciennymi. Niech A = "chociaż na jednej kostce wypadła 1" i B = "na każdej kostce wypadła inna liczba". Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B. Zdarzenia elementarne w tym doświadczeniu to trójki (x,y,z), gdzie x, y, z = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Jest ich 6*6*6. Zdarzeń sprzyjających B jest tyle ile funkcji różnowartościowych określonych na zbiorze trójelementowym i o wartościach w zbiorze sześcioelementowym. Jest ich 6*5*4, por. punkt 11.2. Czyli P(B) = 6*5*4/(6*6*6). Zdarzeniu A ∩ B sprzyjają trójki (1,x,y) ,(x,1,y), (x,y,1), gdzie x jest jedną z 5 wartości (bo to nie może być 1), a y jedną z 4 wartości (bo y musi być różne od x i różne od 1). P(A ∩ B) = 5*4*3/63. Ostatecznie P(A|B) = (10/36)/(20/36)= 1/2.

Zadanie 13.3.1 Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania w dwóch rzutach kostką sześcienną trzech oczek, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadło jedno oczko.

Rozwiązanie. Przestrzeń zdarzeń elementarnych w dwóch rzutach kostką ma 36 elementów. Prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie wypadło 1 oczko wynosi 6/36, a prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie wypadnie 1, a w drugim 2, wynosi 1/36. Czyli szukane prawdopodobieństwo wynosi (1/36)/(6/36), tzn. 1/6.

« poprzedni punkt następny punkt »