- Niech W oznacza zbiór liczb postaci (ułamków) n/m, gdzie n i m są
liczbami naturalnymi różnymi od zera. Niech × oznacza operację mnożenia
liczb wymiernych, a ⊕ oznacza operację
określona jak następuje:
(n/m) ⊕ (n'/m') =df (n +
n')/(m+m').
Udowodnić, że funkcja h, taka że h(x) = 1/x dla x ∈
W, jest izomorfizmem odwzorowującym zbiór W na W.
- Udowodnić, że zbiór { 3k : k ∈N}
jest podalgebrą algebry liczb całkowitych z operacją mnożenia
<Z,×>. Znaleźć zbiór generatorów tej podalgebry.
- Zbadać, czy relacja ~ określona w zbiorze liczb rzeczywistych R,
x ~ y wttw |x| = |y|,
jest kongruencją ?
(a) W algebrze <R, × >.
(b) W algebrze <R, +>.
Jeśli odpowiedź jest twierdząca wyznaczyć system ilorazowy.
- W zbiorze A* słów nad alfabetem A z operacją
konkatenacji o, zdefiniowano relację ~ następująco:
w1 ~ w2 wttw istnieje takie niepuste słowo w ∈A*, że w jest prefiksem zarówno w1
jak i w2. Zbadać, czy ta relacja jest
kongruencją. Jeśli tak, to określić system ilorazowy A*/~ .
- Niech h będzie funkcją odwzorowującą zbiór liczb całkowitych Z w
zbiór liczb całkowitych,
h(x) = 2x dla 0 ≤ x,
h(x) = -2x-1 dla x<0.
Wyznaczyć zbiór h(Z). Zbadać, czy h jest homomorfizmem
odwzorowującym algebrę < Z, +> na algebrę <h(Z), +>?