1. Wypisać po kilka elementów z następujących zbiorów:
   
   
   • {n ∈ N: n jest podzielna przez 5}
   • {2ⁿ : n ∈ N }
   • {1/n : n=1,2,3,4}
   • { x ∈ R : x=k/n oraz k ∈ {1,2} i n ∈ {1,2,4,8} }
   
   
2. Jaka jest liczba elementów podanych poniżej zbiorów?


• {n ∈ N : n²=2}, {x ∈ Q: x²=2}, {x ∈ R: x²=2}
• {n ∈ N: n jest liczbą pierwszą , niewiększą niż 10}
• {n ∈ N: n jest potęgą 2}
• {-1,1}, [-1, 1], (-1, 1)
• {x ∈ Z: |x| <10}, {x ∈ R: |x| <10}
• {n ∈ N : n jest liczbą parzystą i liczbą pierwszą}


3. Niech U={n ∈ N : n<20} będzie ustalonym uniwersum i niech A i B będą jego podzbiorami takimi, że A= {2n+1 : n ∈ N i n<6}, B = {3n+2 : n ∈ N i n<6}. Wyznaczyć elementy zbiorów A ∪ B, A ∩ B, A^c ∪ B, A\B, B\A, A ⊕ B.


4. Niech A={x ∈ R : |x| ≥ 5} i B={x ∈ R : -6 ≤ x<0}. Przedstawić graficznie te zbiory i wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A^c , A\B, B\A.
   


5. Niech U = {a,b}* będzie uniwersum, którego podzbiorami są zbiory A, B, C takie, że
   A= {a, b, aa, bb, aaa, bbb} B = {w ∈ U : długość(w) ≥ 2} C = { w ∈ U : długość(w) ≤ 2}. Wyznaczyć zbiory B^c ∩ C^c, (B ∩ C)^c, (B ∪ C)^c, B^c ∪ C^c, A^c ∩ B^c.
   


6. Wskaż, które ze zdań jest prawdziwe:



• A ∩ B = A^c ∪ B^c
• A ∩ ( ∅ ∪ B) = A wttw A ⊆ B.

Część II

1. 1. Wypisać elementy zbioru P(A), jeśli wiadomo, że A jest zbiorem pierwiastków równania x² -7x+6.
   2. Udowodnić, że P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) dla dowolnych A i B.
   3. Jakie zależności muszą zachodzić aby
      • {a,b,c}={b,c,d}
      • {{a,b},c,{d}} = {{a},c}
        
        
2. Wykazać dwoma sposobami, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzą równości:
• A\B = A\(A ∩ B)
• A = (A ∩ B) ∪ (A\B)
• A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C)
  
  
3. Udowodnić, że następujące równości nie zachodzą dla dowolnych zbiorów (Wskazać kontrprzykłady) :
• (A\B) ∪ B = A
• (A ∪ B) \B = A
  
  
4. Udowodnić, że zachodzą następujące równości
• A ∩ (B ⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ ( A ∩ C)
• A ⊕ B = ∅ wttw A = B.
  
  
5. Rozwiązać układy równań
1. A\X = B, X\A =C, wiedząc, że B ⊆ A i A ∩ C = ∅.
2. A ∩ X = B, A ∪ X =C, wiedząc, ze B ⊆ A ⊆C.
   
   
6. Zaproponować algorytm pozwalający na wyliczenie sumy teoriomnogościowej zbiorów. Przedyskutować przypadki :
• Zbiory A i B dane jako tablice (wektory) o dowolnych elementach.
• Elementy zbiorów są liczbami naturalnymi niewiększymi od k.
• Elementy zbiorów tworzą ciągi uporządkowane.