W tym wykładzie przedstawiliśmy nieformalnie pojęcie zbioru i podstawowe operacje jakie na zbiorach można wykonać. Zbiór z określonymi na nim operacjami nazywa się algebrą i dlatego mówimy czasem o algebrze zbiorów.

Prawa algebry zbiorów, podane w tym wykładzie nie wyczerpują wszystkich własności potrzebnych do formalnego zdefiniowania pojęcia zbioru. Na ogół, formalna definicja pojęcia zbioru nie jest nam potrzebna by posługiwać się zbiorami. Jednak czasami, intuicja zawodzi. Teoria mnogości, opierająca się jedynie na intuicyjnym pojęciu zbioru, doprowadziła do wykrycia tzw. antynomii, to znaczy sprzeczności, paradoksów. Jedną z najbardziej znanych jest antynomia B. Russella.

Uściśleniem nieprecyzyjnej teorii zbudowanej przez Cantora, jest aksjomatyczna teoria mnogości. Na gruncie teorii aksjomatycznej posługujemy się jedynie pojęciami pierwotnymi i pojęciami zdefiniowanymi za ich pomocą. Pozwala to uniknąć nieprecyzyjnych sformułowań, takich jak pojęcie zbioru Z w antynomii Russella.

Aksjomatyczna teoria mnogości została zaproponowana przez Zermelo w 1904r. i udoskonalona przez Fraenkel'a, Gödel'a i innych. Prawa podane w tym wykładzie, stanowią trzon aksjomatyzacji Zermelo-Fraenkel'a. Wśród aksjomatów Zermelo na specjalną uwagę zasługuje aksjomat wyboru:

"Dla każdej niepustej rodziny niepustych zbiorów istnieje zbiór, który z każdym elementem rodziny ma dokładnie jeden element wspólny".

Samo sformułowanie aksjomatu na pierwszy rzut oka nie budzi niepokoju. Jednak przyjęcie go lub odrzucenie ma poważne konsekwencje w teorii mnogości. Twierdzenia, w których dowodzie używa się aksjomatu wyboru nazywamy nieefektywnymi.
Czytelnika, który chciałby zapoznać się dokładniej z teorią mnogości odsyłamy do monografii A.Mostowskiego i K.Kuratowskiego, Teoria mnogości (Warszawa, 1966).