Rys. 1.4.1 Przecięcie zbiorów.

Przykład 1.4.1

(a) Niech A = {2i: i <16, i ∈ N }, B = {3i: i<11, i ∈ N}. Wtedy A ∩ B zawiera tylko te liczby naturalne, które dzielą się zarówno przez 2 jak i przez 3 oraz nie są większe niż 30,

A ∩ B = {0, 6, 12, 18, 24, 30} = {6i : i<6, i ∈ N}.

(b) Niech X będzie zbiorem wszystkich studentów PJWSTK, a Y zbiorem wszystkich kobiet. Wtedy X ∩ Y jest zbiorem wszystkich studentek PJWSTK.

Na mocy definicji przecięcie zbiorów A ∩ B jest zarówno podzbiorem A jak i podzbiorem B. W szczególnym przypadku takie przecięcie może być puste. Mówimy wówczas, że zbiory A i B są rozłączne.

Wprost z definicji iloczynu zbiorów wynika, że x ∉ A ∩ B, gdy nie jest spełniony chociaż jeden z warunków definicji, czyli

x ∉ A ∩ B wttw x ∉ A lub x ∉ B

Iloczyn zbiorów, podobnie jak suma, jest operacją łączną i przemienną, a ponadto zachodzi prawo rozdzielności sumy względem iloczynu. Prawa te można zapisać w następującej postaci:

Wymienione prawa przypominają analogiczne zasady rządzące operacjami sumy i iloczynu w zbiorze liczb rzeczywistych. Tu jednak kończy się analogia. Następujące prawa nie mają odpowiednika w arytmetyce liczb rzeczywistych.

Ten ostatni związek między zbiorami zilustrujemy przy pomocy diagramów Venna.

Rys. 1.4.2 Ilustracja graficzna prawa rozdzielności.

Podobnie jak w przypadku sumy, inkluzję można "mnożyć" stronami. Zachodzi bowiem następujący fakt:

Dowód. Załóżmy, że A ⊆ C i B ⊆ D. Jeżeli x ∈ A ∩ B, to zgodnie z definicją przecięcia, x ∈ A i x ∈ B. Na mocy przyjętych założeń mamy więc x ∈ C i x ∈ D, czyli x ∈ C ∩ D. Wynika stąd, że dowolny element zbioru A ∩ B należy do zbioru C ∩ D, czyli A ∩ B ⊆ C ∩ D. ♦

Pytanie 1.4.1: Jak można scharakteryzować zawieranie zbiorów przy pomocy operacji przecięcia? (porównaj lemat 1.3.2).

« poprzedni punkt

następny punkt »