Na zbiorach określa się pewne operacje (działania), które pozwolą z danych zbiorów utworzyć nowe. W dalszej części wykładu omówimy operacje dwuargumentowe sumy, przecięcia, różnicy i jednoargumentową operację uzupełnienia. Rodzina podzbiorów pewnej przestrzeni z tymi właśnie operacjami nazywa się algebrą zbiorów.

Definicja 1.3.1

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy A ∪ B. Krótko zapiszemy

x ∈ A ∪ B wttw x ∈ A lub x ∈ B.

Jeśli zbiór A to obszar niebieski, a zbiór B, to obszar granatowy, to zbiór A ∪ B, to obszar złożony z wszystkich pokolorowanych punktów, por. Rysunek 1.3.1.

Niech A = {2k : k ∈ N} i B = {3n : n ∈ N}. Wtedy A ∪ B jest zbiorem wszystkich liczb, które dzielą się przez 2 lub przez 3,

Liczba 15 ∈ A ∪ B, bo dzieli się przez 3, a liczba 8 ∈ A ∪ B, bo dzieli się przez 2. Liczba 6 należy też do zbioru A ∪ B, bo dzieli się zarówno przez 2, jak i przez 3.

Operacja sumy, określona na zbiorach ma własności podobne do tych, jakie przysługują operacji dodawania w zbiorze liczb rzeczywistych. Poniżej wymienimy niektóre z nich.

Twierdzenie 1.3.1

Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości:

∅ ∪ A = A

A ∪ A = A (prawo idempotentności)

A ∪ B = B ∪ A (prawo przemienności)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (prawo łączności)

Dowody tych równości (pozostawiamy Czytelnikowi). Można je przeprowadzić wykazując, że x należy do lewej strony równości wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do prawej strony równości.

Oczywiście zarówno zbiór A jak i zbiór B są podzbiorami zbioru A ∪ B. Wynika stąd często stosowana własność monotoniczności:

Lemat 1.3.1

Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D, jeśli A ⊆ C i B ⊆ D, to A ∪ B ⊆ C ∪ D.

Załóżmy, że (1) A ⊆ C i (2) B ⊆ D. Jeżeli jakiś element x ∈ A ∪ B, to na mocy definicji sumy x ∈ A lub x ∈ B. Jeśli x ∈ A, to na mocy założenia (1), x ∈ C, a stąd x ∈ C ∪ D. Jeśli x ∈ B, to na mocy założenia (2), x ∈ D, czyli należy także do C ∪ D. Zatem każdy element zbioru A ∪ B należy też do zbioru C ∪ D. ♦

Lemat 1.3.2

Dla dowolnych zbiorów A i B, A ⊆ B wttw A ∪ B = B.

Załóżmy, że A ⊆ B. Gdyby x ∈ A ∪ α oraz x ∉ B, to musiałoby być, że x ∈ A. Wtedy jednak, na mocy założenia, x ∈ B, sprzeczność. Odwrotnie, jeśli x ∈ B, to x należy do każdego większego zbioru, w szczególności x ∈ A ∪ B. Wynika stąd, że A ⊆ B implikuje A ∪ B = B.

Załóżmy teraz, że A ∪ B = B i rozważmy element x, x ∈ A. Oczywiście, x ∈ Α ∪ α . Wtedy jednak, na mocy założenia, że zbiory A ∪ B i B są równe, mamy x ∈ B. Ponieważ rozważaliśmy dowolny element x, zatem A ⊆ B. ♦

Pytanie 1.3.2: Z ilu elementów składa się zbiór X ∪ { ∅}, jeśli X jest pewnym n-elementowym podzbiorem zbioru liczb naturalnych?