« poprzedni punkt  « następny punkt 


1.6. Działania uogólnione

Przedstawione do tej pory operacje (działania) na zbiorach miały co najwyżej dwa argumenty. Można je jednak uogólnić w prosty sposób na dowolną, skończoną lub nieskończoną, liczbę argumentów.

Definicja 1.6.1

Niech A będzie rodziną zbiorów indeksowaną elementami pewnego zbioru I, A = {Ai : i ∈ I}.
Sumą uogólnioną rodziny zbiorów A nazywamy zbiór

taki, że x należy do tego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy x jest elementem co najmniej jednego zbioru rodziny A,

x ∈ ⎩⎭ i ∈ I Ai wttw istnieje takie k ∈ I , że x ∈ Ak.

Iloczynem (przecięciem) uogólnionym rodziny zbiorów A nazywamy zbiór

taki, że x należy do tego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy x jest elementem każdego ze zbiorów rodziny A,

x ∈ ⎧⎫ i ∈ I Ai wttw dla wszystkich k ∈ I , x ∈ Ak.

Oczywiście, gdy I składa się tylko z dwóch indeksów, np. I = {1, 2}, to

Jeżeli wszystkie zbiory rodziny A należą do tej samej przestrzeni U, to zachodzą uogólnione prawa De Morgana, sformułowane w twierdzeniu 1.6.1.

Twierdzenie 1.6.1

Dla dowolnej rodziny podzbiorów {Ai : i ∈ I} zbioru U, zachodzą równości

  1. - ⎩⎭ i ∈ I Ai = ⎧⎫ i ∈ I (- Ai ),

  2. - ⎧⎫ i ∈ I Ai = ⎩⎭ i ∈ I (- Ai ).

Dowód.

Ad. 1) Załóżmy, że x należy do lewej strony równości (1). Oznacza to, na mocy definicji, że x nie należy do żadnego ze zbiorów Ai. Stąd x należy do każdego z uzupełnień -Ai i w konsekwencji x należy do przecięcia ⎧⎫ i ∈ I (- Ai ).

Ad. 2) Jeśli element x należy do zbioru - ⎧⎫ i ∈ I Ai , to nie należy do przecięcia uogólnionego ⎧⎫ i ∈ I Ai. Zatem, na mocy definicji 1.6.1, dla pewnego k, x ∉ Ak. Stąd x ∈ -Ak, czyli x ∈ ⎩⎭ i ∈ I (- Ai ). ♦

Przykład 1.6.1

  1. Niech Ai = {x ∈ R : x < i} dla wszystkich liczb naturalnych i (w tym wykładzie przyjmujemy, że 0 należy do zbioru liczb naturalnych). Wtedy

    2. ⎩⎭ i ∈ I Ai = R,  ⎧⎫ i ∈ I Ai = {x ∈ R : x < 0}.

  2. Niech Bi = {x ∈ R : -1/i <x < 1/i}dla wszystkich liczb naturalnych i>0. Wtedy

    3. ⎩⎭ i ∈ I Bi = (-1,1),  ⎧⎫ i ∈ I Bi = {0}.

Pytanie 1.6.1: Niech {Ai : i ∈ I} będzie indeksowaną rodziną zbiorów pewnej przestrzeni.

Które z wymienionych zależności są, a które nie są prawdziwe?

1. Dla dowolnego k ∈ I, Ak ⊆ ⎩⎭ i ∈ I Ai.

2. Dla dowolnego k ∈ I, Ak ⊆ ⎧⎫ i ∈ I Ai.

3. Dla dowolnego k ∈ I, ⎩⎭ i ∈ I Ai ⊆ Ak.

4. Dla dowolnego k ∈ I, ⎧⎫ i ∈ I Ai ⊆ Ak.

5. ⎧⎫ i ∈ I Ai ⊆ ⎩⎭ i ∈ I Ai.


« poprzedni punkt  « następny punkt