Ćwiczenia do wykładu 02
- Udowodnij, że
- dla dowolnych A, B, C, A × (B\C) =
(A × B)\ (A ×
C).
- jeśli zbiory A,B,C są niepuste, to
A ⊆ B i C ⊆ D
wttw A × C ⊆ B ×
D.
- dla dowolnych A, B, C zachodzi wzór (A ⊕
B) × C = (A ×
C) ⊕ (B × C).
- Niech U= {0,1,2,3} i niech r1, r2 ⊆
U × U będą relacjami takimi, że
- (n,m) ∈ r1 wttw m-n jest liczbą
parzystą
- (n,m) ∈ r2 wttw m ≤ n.
Zapisz każdą z relacji jako: zbiór par uporządkowanych, w postaci
tabelki (macierzy) i w postaci grafu. Dla każdej relacji określ jej
własności (czy jest zwrotna, czy symetryczna itd.).
- Zbadaj własności relacji
- x r y wttw 2|(x+y) dla x,y ∈
N
- x r y wttw sgn x ≤ sgn y x,y ∈ R
- x r y wttw |x+y+1| ≤ 1 x,y ∈
R (narysuj wykres relacji)
- Podaj (wymieniając pary uporządkowane, albo definiując tabelkę
relacji, albo rysując graf) przykład relacji binarnej w zbiorze
X={a,b,c,d}:
- zwrotnej
- symetrycznej
- przechodniej
- Niech x0 będzie ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią. Podaj
wykres relacji (r1 ∪ r2) wiedząc, że
r1 = {(x,y) ∈ R+ ×
R : y = - √
x i x ≤
x0} r2 = {(x,y) ∈ R+ ×
R : y = + √
x i x >x0}
- Udowodnij, że
- jeśli r1 i r2 są relacjami zwrotnymi, to jest nią również
relacja (r1 ∩ r2)
- relacja r jest przechodnia wttw r o r ⊆
r
- ( r1 ∪ r2) -1 = r1-1
∪ r2-1
- Wyznacz złożenie r o r, jeśli r = {(x,y) ∈
R × R : x+y ≤
0}.
- Ile różnych relacji binarnych zwrotnych można utworzyć w zbiorze
n-elementowym?
- Zakładając, że relacja jest reprezentowana przez macierz
incydencji (sąsiedztwa) zaproponuj algorytm badania, np.: jej
zwrotności i przeciwzwrotności.