Ćwiczenia do wykładu 06
- Niech r będzie relacją binarną w P(X) dla pewnego zbioru
niepustego X taką, że
A r B wttw A ∪ B = B
- Udowodnić, że r jest relacją częściowego porządku.
- Wskazać elementy (o ile istnieją) minimalne, maksymalne,
największy i najmniejszy.
- Rozważyć, relację r w zbiorze ( P(X)/{ ∅
})/{X} i wskazać jej elementy wyróżnione.
- Pokazać, że jeśli <X, r> jest zbiorem uporządkowanym, to
<X,r-1> też jest zbiorem uporządkowanym. Czy to samo
można powiedzieć
- o zbiorach liniowo uporządkowanych?
- o zbiorach dobrze uporządkowanych?
- Podać przykład zbioru częściowo uporządkowanego, który ma
- kilka elementów minimalnych
- tylko jeden element minimalny.
- dokładnie jeden element minimalny ale nie ma elementu
najmniejszego.
W każdym z podanych przykładów, narysować diagram Hassego.
- Udowodnić, że relacja r (porządek produktowy) określona w
produkcie X ×
Y dwóch zbiorów częściowo uporządkowanych <X, ≤1>,
<Y, ≤2 > następująco
(x,y) r (x',y') wttw x ≤1x' i y ≤2 y' jest porządkiem częściowym.
- Czy to jest porządek liniowy?
- Czy to jest dobry porządek?
- Niech X=Y={1,2,3}. Narysować diagram Hasse porządku
produktowego w X ×Y i wskazać elementy
wyróżnione.
- Udowodnić, że porządek leksykograficzny w N3 jest
porządkiem liniowym.
- Rozważmy zbiór R w relacją ≤.
- Czy R jest kratą?
- Podać przykład niepustego podzbioru R, który nie ma
ograniczenia górnego w R.
- Znaleźć sup{x ∈
R : x<23}
- sup{x ∈ R : x2 < 23},
sup{ x ∈ N : x2 < 23}
- inf {x ∈
R : x2< 23}, inf {x ∈
N : x2< 23}
- Niech E(N) będzie zbiorem tych wszystkich podzbiorów zbioru N,
które mają parzystą liczbę elementów. Rozważmy E(N) z częściowym
porządkiem ⊆.
- Niech A={1,2}, B={1,3}. Wskazać 2 różne ograniczenia górne
zbioru {A,B} w E(N).
- Czy zbiór {A,B} ma kres dolny w E(N)? Kres górny?
- Czy E(N) jest kratą?