Jedną z najczęściej wykonywanych operacji na zbiorach, z którymi mamy do czynienia w różnych dziedzinach wiedzy, zastosowań, a także w informatyce, jest operacja wyszukiwania. Jeśli nawet wszystkie elementy interesującego nas zbioru obiektów umieszczone są na liście, to znalezienie w niej tego konkretnego elementu, który jest nam aktualnie potrzebny, może wymagać przejrzenia całej listy, jeśli kolejność elementów na liście była przypadkowa. Jeśli jednak kolejność elementów wynika z pewnej znanej nam zasady porządkowania, to wykorzystując tę informację możemy znacznie uprościć zadanie.

Znana jest pewnie Czytelnikowi zabawa w 20 pytań.: Gracz 1 pomyślał sobie jakąś liczbę naturalną, powiedzmy ≤ 100000, a gracz 2 ma ją odgadnąć, zadając pytania, na które odpowiedziami mogą być jedynie słowa TAK i NIE. Rozsądna strategia gracza 2 może polegać zadawaniu takich pytań, które pozwolą ustalić, w której części aktualnego przedziału (np. zawsze dzielimy przedział na dwie części) znajduje się szukana liczba. (początkowo jest to przedział 0-10000). Oczywiście możemy tak postąpić, bo zbiór liczb naturalnych jest liniowo uporządkowany.

Pytanie : Czy ograniczenie na wielkość pomyślanej liczby w zabawie w 20 pytań jest istotne?

Trudno przecenić rolę relacji porządkujących. Nie można sobie wyobrazić żadnej bazy danych, katalogów bibliotecznych, słowników, czy organizacji jakiejkolwiek pracy bez określenia pewnego porządku. W przedstawionym wykładzie omówiliśmy najważniejsze właściwości tej relacji.

Pozostają pytania: Czy każdy zbiór można uporządkować? Czy każdy zbiór można uporządkować dobrze?

Odpowiedź na pierwsze pytanie brzmi "tak", bo chociażby zbiór par (x,x) dla wszystkich x ∈ X jest relacją częściowego porządku w dowolnym zbiorze X. Drugie pytanie jest łatwe tylko w przypadku zbiorów skończonych: każdy ciąg utworzony z elementów skończonego zbioru X determinuje dobry porządek wśród jego elementów. Jeśli zbiór X jest nieskończony, to odpowiedź na drugie pytanie zależy od przyjętych aksjomatów teorii mnogości. Udowodniono, że jedną z konsekwencji aksjomatu wyboru jest zasada dobrego uporządkowania:

Dowód tego faktu jest nieefektywny, w tym sensie, że dowodzi się istnienia takiego porządku bez wskazania konkretnej relacji dobrze porządkującej.