« poprzedni punkt   następny punkt »


6.4. Ograniczenia i kresy zbiorów

Definicja  6.4.1

Niech ≤ będzie relacją porządku w X oraz niech A będzie podzbiorem X. Ograniczeniem górnym zbioru A w X nazywamy element x0 ∈X, taki że a ≤ x0 dla wszystkich a ∈ A.

Ograniczeniem dolnym zbioru A w X nazywamy element x1 ∈ X taki, że x1 ≤ a dla wszystkich a ∈ A.

Przykład 6.4.1

(1) Rozważmy zbiór uporządkowany <R, ≤ > oraz jego podzbiór A = {x ∈ R: 1< x < 2}. Ograniczeniem górnym zbioru A jest np. liczba 3 oraz wszystkie liczby większe lub równe 2. Ograniczeniem dolnym zbioru A są np. liczby 1, 0, -1, -2, ponieważ każda z nich jest mniejsza od wszystkich elementów zbioru A.

(2) Rozważmy teraz zbiór liczb naturalnych uporządkowany przez relację podzielności | oraz podzbiór B = {4, 6, 8}. Ograniczeniem górnym zbioru B są liczby 24, 48 oraz każda liczba, która dzieli się jednocześnie przez 4, 6 i 8. Ograniczeniem dolnym zbioru B są liczby 1 i 2, bo zarówno 1 jak i 2 są dzielnikami wszystkich elementów zbioru B.

Z przedstawionych przykładów wynika następujący wniosek.

Wniosek

Podzbiór zbioru uporządkowanego może mieć wiele różnych ograniczeń górnych i wiele różnych ograniczeń dolnych. Ograniczenia dolne i ograniczenia górne danego zbioru A mogą, ale nie muszą, należeć do zbioru A.

Definicja 6.4.2

Kresem górnym zbioru A, podzbioru zbioru uporządkowanego <X, ≤ > nazywamy najmniejsze ograniczenie górne zbioru A, oznaczone przez sup A, tzn.

x0 = sup A wttw

  1. a ≤ x0 dla każdego a ∈ A
  2. jeśli b jest ograniczeniem górnym zbioru A, to x0 ≤ b.

Kresem dolnym podzbioru A zbioru uporządkowanego <X, ≤ > nazywamy największe ograniczenie dolne zbioru A, oznaczone przez inf A, tzn.

x1 = inf A wttw

  1. x1 ≤ a dla każdego a ∈ A
  2. jeśli b jest ograniczeniem dolnym zbioru A, to b ≤ x1.

Pytanie 6.4.1: Czy kres górny zbioru, to element największy tego zbioru?

Zobacz odpowiedź

Przykład 6.4.2

  1. Kresem górnym podzbioru {1/n: n ∈ N>0} zbioru liczb rzeczywistych uporządkowanego przez relację ≤ jest 1 (Jest to równocześnie element największy tego zbioru). Kresem dolnym tego zbioru jest 0 (zauważmy, że 0 nie należy do tego zbioru).
  2. Rozważmy zbiór uporządkowany <P(X), ⊆ > oraz dwa zbiory A, B ∈ P(X). Mamy wówczas
    sup{A,B} = A ∪ B .
    Dla dowodu tej zależności, zauważmy najpierw, że A ∪ B jest rzeczywiście ograniczeniem górnym zbioru {A,B}, bo A ⊆ A ∪ B i B ⊆ A ∪ B. Weźmy jakiś dowolny zbiór C ∈ P(X), który też jest ograniczeniem górnym dla {A,B}. Wtedy A ⊆ C i B ⊆ C, a stąd na mocy praw rachunku zbiorów (por. lemat 1.2) mamy A ∪ B ⊆ C. Czyli A ∪ B jest najmniejszym możliwym ograniczeniem górnym dla {A,B}.
  3. Niech A = {n, m} będzie dwuelementowym podzbiorem zbioru uporządkowanego <N, |>. Wtedy sup{n,m} = najmniejsza wspólna wielokrotność (w skrócie nww) liczb n i m , oraz inf{n, m} = największy wspólny dzielnik(w skrócie nwd ) liczb n i m. Na przykład sup {4,6} = 12, a inf{4, 6} = 2; sup{12,18} = 36, a inf{12, 18} = 6.

Pytanie 6.4.2 : Rozważmy zbiór uporządkowany <P(X), ⊆ > oraz dwa zbiory A, B ∈ P(X). Jaki zbiór jest kresem dolnym dla {A,B}?

Zadanie 6.4.1

Niech (Xi)i ∈ I będzie indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru uporządkowanego < P(X), ⊆ >. Jaki zbiór jest kresem górnym dla tej rodziny?

Odpowiedź : Suma uogólniona wszystkich zbiorów rodziny. Rzeczywiście, po pierwsze Xi ⊆ ⎩⎭ i ∈ I Xi , bo suma uogólniona ⎩⎭ i ∈ I Xi (por. punkt 1.6) składa się z wszystkich elementów wszystkich zbiorów rodziny. Przypuśćmy, że dla pewnego zbioru B i dla wszystkich i ∈ I, Xi ⊆ B i niech x ∈ ⎩⎭ i ∈ I Xi . Wtedy istnieje k ∈ I, x ∈ Xk, a zatem x ∈ B. Udowodniliśmy więc, że ⎩⎭ i ∈ I Xi ⊆ B. Wynika stąd, że suma uogólniona ⎩⎭ i ∈ I Xi jest kresem górnym dla rodziny zbiorów (Xi)i ∈I.

Analogiczne można udowodnić, że inf (Xi)i ∈ I = ⎧⎫ i ∈ I Xi.

Zbiór uporządkowany, w którym dla dowolnych dwóch elementów istnieje kres górny i kres dolny nazywamy kratą. Przykładem kraty jest zbiór uporządkowany przedstawiony na rysunku 6.2.1, i ogólniej, zbiór <P(X), ⊆ > dla dowolnego zbioru X (por. przykład 6.4.2).

Pytanie 6.4.3: Czy zbiór liczb rzeczywistych R z relacją ≤ tworzy kratę?


« poprzedni punkt   następny punkt »