Przedmiotem badań rachunku zdań są "zdania": są to zdania w języku naturalnym, którym można przypisać wartość prawdy lub fałszu. Na tych zdaniach wykonujemy pewne operacje, które prowadzą do innych, bardziej złożonych zdań. W ten sposób powstaje rachunek, na kształt rachunków liczbowych, który dostarcza wzorców do naszych rozumowań i dowodów.

Nie wszystkie wypowiedzi, zdania w języku polskim, są zdaniami w sensie rachunku zdań. Przykładem może być zdanie pytające : Jaka dziś pogoda? Nie sposób przypisać temu zdaniu wartości prawdy czy fałszu. Natomiast zdanie "Pada deszcz" jest już zdaniem, które możemy ocenić, czy jest, czy nie jest prawdziwe. Oto inne przykłady zdań :

W języku naturalnym, z prostych zdań tworzymy bardziej złożone używając spójników. Również w rachunku zdań będziemy tworzyć zdania złożone za pomocą, tzw. spójników logicznych (nazywanych też funktorami zdaniotwórczymi) : nie, i, lub, implikuje, wtedy i tylko wtedy. Dla oznaczenia funktorów zdaniotwórczych zamiast tych słów będziemy stosowali odpowiednio znaki: negacji ¬ , koniunkcji ∧ , alternatywy ∨ , implikacji → , równoważności ↔ .

Przykład 7.1.1

(1) Niech V składa się ze zmiennych p, q, r. Wtedy następujące wyrażenia są przykładami formuł rachunku zdań

(( ¬ p → q) → (p ∧ q)), ((p ∧ q) → ¬ ( p ∨ q)), ((p → q) → q), ( ¬ (p ∧ q) ∨ ¬ (p ∧ q)).

(2) Jeśli przez p oznaczymy zdanie "x jest liczbą parzystą", przez q zdanie "x jest liczbą nieparzystą", a przez r zdanie "x jest liczbą naturalną", to zdanie "Jeżeli liczba x jest naturalna, to albo jest parzysta albo jest nieparzysta." można zapisać w postaci : (r → (p ∨ q)).

Zadanie 7.1.1 (1) Zapisz w postaci formuły rachunku zdań "Zaskroniec jest duży ale nieszkodliwy" przyjmując, że p= "Zaskroniec jest duży", q = "Zaskroniec jest nieszkodliwy". Odp.: (p ∧ q).

(2) Zapisz w postaci formuły zdanie "Krokodyl dostrzegłszy zdobycz, podpływa do niej cicho i niepostrzeżenie, a gdy już jest blisko, rzuca się na nią gwałtownie." przyjmując, że p = "Krokodyl dostrzega zdobycz", q = "(krokodyl) podpływa do niej cicho", r = " podpływa do niej niepostrzeżenie", s = "już jest blisko", t ="rzuca się na nią gwałtownie". Odp.: (p → ((q ∧ r) ∧ (s → t))).

Przykład 7.1.2

Często w matematyce, i nie tylko, używa się zwrotu "p jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to by zaszedł warunek q". Taki zwrot tłumaczy się na dwa zdania w rachunku zdań :

p jest warunkiem koniecznym dla q, bo gdyby p nie zachodziło, to nie zajdzie również q. p jest warunkiem dostatecznym, bo jeśli tylko zachodzi p, to zachodzi również q. Na przykład, rozważmy zdanie 'warunkiem koniecznym i dostatecznym na to by liczba dzieliła się przez 3, jest by suma jej cyfr była podzielna przez 3'. Zdanie to możemy zapisać w postaci dwóch warunków:

• jeśli suma cyfr danej liczby nie dzieli się przez 3, to liczba nie dzieli się przez 3 (warunekiem koniecznym na to by liczba dzieliła się przez 3 jest by suma jej cyfr dzieliła się przez 3),

• jeśli suma cyfr danej liczby dzieli się przez 3, to liczba też dzieli się przez 3 (warunkiem dostatecznym na to by liczba dzieliła się przez trzy jest by suma jej cyfr dzieliła się przez trzy).

Uwaga. W dalszym ciągu wykładu, będziemy pomijać niektóre nawiasy w formułach. Zwykle, tak jak w arytmetyce, przyjmuje się priorytet operacji: ¬ , ∧ , ∨ . W ten sposób ¬ p ∧ q ∨ r ∧ p oznacza formułę ((( ¬ p) ∧ q) ∨ ( r ∧ p)).

Pytanie 7.1.1 Dla każdej z wymienionych fraz w języku polskim, ustalić, czy jest, czy nie jest to zdanie w sensie rachunku zdań:

1. Jak dużo czasu potrzeba aby dojechać do Warszawy?
2. Jan jest studentem PJWSTK.
3. Nikt nie zna odpowiedzi na to pytanie.
4. Co będzie to będzie.

« poprzedni punkt

następny punkt »