| « poprzedni punkt | następny punkt » |
Zbiór zdań, dla którego nie można znaleźć takiej interpretacji zmiennych zdaniowych w nim występujących (tzn. takiego wartościowania), że wszystkie zdania równocześnie są prawdziwe, nazywamy sprzecznym.
Czasami sprzeczność ta wynika z sensu zdania. Zdanie "Żona Jana jest niezamężna" jest wewnętrznie sprzeczne. Nie może być prawdziwe przy żadnej interpretacji. Dołączenie takiego zdania do dowolnych innych, powoduje, że otrzymany zbiór zdań jest sprzeczny.
Czasami sprzeczność zbioru zdań wynika z samej struktury zdań. W najprostszym przypadku mamy dwa zdania, które sobie nawzajem przeczą, np.
{ 'Adam jest studentem PJWSTK', ' Adam nie jest studentem PJWSTK'}
Jeśli jedno ze zdań oznaczymy literą p, to drugie ma postać ¬ p. Oczywiście tylko jedno z tych zdań może być prawdziwe. Ten zbiór jest sprzeczny. Nieco mniej oczywista jest sprzeczność zawarta w zbiorze
{'210 jest liczbą parzystą', 210 = 1023'}.
Jeśli 210 jest liczbą parzystą, to nie może być równe 1023, bo jest to liczba nieparzysta. I odwrotnie, jeśli 210 jest równe 1023, to nie jest to liczba parzysta. Oznaczmy p= '210 jest liczbą parzystą' oraz q = '210 =1023' oraz r = '210 jest liczbą nieparzystą'. Zdania (q ⇒ r) i (r ⇒ ¬ p) są prawdziwe. Gdyby prawdziwe było q, to musiałoby być również prawdziwe ¬ p. W tym przypadku sprzeczność jest pośrednia.
Jeśli mamy do czynienia z większą liczbą zdań, to odkrycie sprzeczności nie jest takie proste. Może się zdarzyć, że żadna para zdań nie prowadzi do sprzeczności, natomiast wszystkie zdania razem nie mogą być równocześnie prawdziwe. Na przykład, dla dowolnych zbiorów X, Y, Z zbiór zdań
{X ⊂ Y, Y ⊂ Z, Z ⊂ U, U ⊂ X}.
jest sprzeczny, chociaż żadne dwa zdania spośród nich nie są sprzeczne.
Definicja 7.4.1
Zbiór zdań (formuł) X jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka interpretacja zdań ze zbioru X, tzn. taki układ w wartości zmiennych zdaniowych występujących w tych formułach, że w( α)=1 dla wszystkich formuł α ∈ X.
Zwróćmy uwagę, że własność niesprzeczności zbioru zdań X nie gwarantuje, że wszystkie zdania tego zbioru są prawdziwe. Zapewnia tylko, że istnieje takie wartościowanie (interpretacja), w którym wszystkie formuły równocześnie przyjmują wartość prawdy. Jeśli zbiór zdań jest sprzeczny, to nie istnieje takie wartościowanie.
Dlaczego własność niesprzeczności jest tak bardzo ważna? Ze zbioru zdań sprzecznych można wywnioskować dowolne zdanie. A więc nie wiemy nic. Jeśli jakiś zbiór jest sprzeczny, to każdy zbiór, który go zawiera też jest sprzeczny. Gdyby np. baza danych jaką dysponuje komputer zawierała fakty sprzeczne, to posługując się nią, możemy dojść do nieprawdziwych wniosków, które mogą mieć dla nas poważne konsekwencje.
Pytanie 7.4.1 Niech p, q i r oznaczają odpowiednio: p = "Adam kupi nowy samochód", q = "Adam sprzeda mieszkanie" , r = " Adam ożeni się". Załóżmy, że następujące zdania są prawdziwe:
(p ∨ q ∨ r), ((p ∧ ¬ r) → q), ((r ∧ q) ∨ ( ¬ r ∧ ¬ q), (r → p).
Co zrobi Adam? Czy kupi samochód, czy sprzeda mieszkanie, czy ożeni się?
| « poprzedni punkt | następny punkt » |