« poprzedni punkt   następny punkt »


10.5. Porównywanie liczb kardynalnych

Definicja 10.5.1

Powiemy, że liczba kardynalna m jest mniejsza lub równa liczbie kardynalnej n, m ≤ n wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zbiory X i Y, takie że X ⊆ Y oraz |X|= m, |Y|= n.

Powiemy, że liczba kardynalna m jest mniejsza niż liczba kardynalna n, co zapisujemy w postaci m<n, wtedy i tylko wtedy gdy m ≤n oraz n ≠m.

Zauważmy, że relacja ≤ pokrywa się, ze znaną nam relacją w zbiorze liczb naturalnych.

Wniosek Ponieważ zbiór liczb naturalnych N jest podzbiorem zbioru R, zatem alef0 ≤ c.

Następujący lemat ustala podstawowe własności liczb kardynalnych.

Lemat 10.5.1

Dla dowolnych liczb kardynalnych n, m, u,

  1. n ≤ n
  2. jeśli m ≤ n i n ≤ u , to m ≤ u,
  3. jeśli m ≤ n i n ≤ m, to n= m (Twierdzenie Cantora-Bernsteina).

Lemat 10.5.2

Jeśli istnieje funkcja odwzorowująca A na B, to |B| ≤ |A|.

Dowód.

Niech f będzie funkcją odwzorowującą A na B: A → B. Wtedy dowolna funkcja g : B → A taka, że g(b) ∈ f-1({b}) dla b ∈ B jest funkcją różnowartościową odwzorowującą B w A.

Rzeczywiście, g(b) zgodnie z przyjętym warunkiem, należy do A dla wszystkich b ∈ B. Ponieważ f jest odwzorowaniem na B (czyli każde b ∈ B jest obrazem jakiegoś elementu z A), więc f -1({b}) jest zbiorem co najmniej jednoelementowym dla wszystkich b. Wynika stąd, że funkcja g jest dobrze określona dla wszystkich b ∈ B. Ponadto, jeśli b1 ≠ b2, to
g(b1) ∈ f-1({b1}) i g(b2) ∈ f -1({b2}). Ponieważ zachodzą równości

{a ∈ A: f(a) = b1} ∩ { a ∈ A: f(a) = b2} = f -1({b1}) ∩ f -1({b2})= ∅,

więc g(b1) ≠ g(b2). To oznacza, że g jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór B na podzbiór zbioru A. Na mocy definicji, |B| ≤ |A|.

Przykład 10.5.1

(1) Zbiór punktów płaszczyzny R2 zawartych w kwadracie (0,1) × (0,1) ma moc c, bo c = |(0,1)| ≤ |(0,1) × (0,1)| ≤ |R2| = c .

(2) Nieskończony zbiór K parami rozłącznych odcinków położonych na prostej, o końcach w punktach o współrzędnych wymiernych ma moc alef0. Rzeczywiście, każdemu odcinkowi ze zbioru K możemy przyporządkować parę liczb wymiernych będących jego końcami. W ten sposób ustalimy odwzorowanie różnowartościowe ze zbioru K w zbiór Q*Q, a więc |K| ≤ |Q2|. Z drugiej strony, |N| ≤ |K|. Ostatecznie, K jest zbiorem przeliczalnym.


« poprzedni punkt   następny punkt »