Zmodyfikujemy teraz nieco nasze pierwsze zadanie o rozmieszczaniu przedmiotów w pudełkach. Załóżmy, że w każdym pudełku może się zmieścić co najwyżej jeden obiekt. Na ile sposobów można, przy tym założeniu, rozmieścić n przedmiotów w m pudełkach?

Rozważmy hotel, w którym, znajduje się 10 jednoosobowych pokoi. Na ile sposobów możemy w tych pokojach umieścić 7 gości? W oczywisty sposób tłumaczymy ten problem na problem pudełek: pokoje to pudełka, a goście hotelowi, to obiekty, które chcemy w nich umieścić. Używając terminologii funkcji, pytamy, ile jest funkcji, ze zbioru gości w zbiór pokoi hotelowych takich, że żadni dwaj goście nie zostaną przypisani do tego samego pokoju. Pytamy zatem o funkcje różnowartościowe.

Ponieważ każda funkcja określona na skończonym zbiorze jest jednoznacznie wyznaczona przez ciąg swoich wartości, a każdy ciąg jest funkcją określoną na liczbach naturalnych, zatem zamiast mówić o funkcjach różnowartościowych możemy mówić o ciągach, których wyrazy nie powtarzają się.

Definicja 11.2.1

Ciąg n-elementowy, którego wyrazy nie powtarzają się, nazywa się n wyrazową wariacją bez powtórzeń.

Rozważmy n-elementowy zbiór X i m-elementowy zbiór Y i zastanówmy się, ile różnych funkcji całkowitych różnowartościowych f : X → Y możemy utworzyć. Oczywiście, jeśli n>m, to nie ma takich funkcji. Załóżmy więc, że n ≤ m.

Dla pierwszego elementu zbioru X, wartość funkcji możemy określić na jeden z m sposobów. Jeśli jednak przypiszemy temu elementowi wartość y₁ ∈ Y (tzn. umieścimy go w jednym z m pudełek), to następny element zbioru X może mieć przypisaną już tylko jedną z m-1 wartości, powiedzmy y₂ (pudełko y₁ jest już zajęte). Trzeciemu z kolei elementowi zbioru X możemy przyporządkować każdy z (m-2)-elementów (bo pudełka y₁ i y₂ są już zajęte) itd. Ogółem mamy więc m*(m-1)* (m-2)* ...(m-n+1) możliwych określeń funkcji różnowartościowych z X w Y.

Twierdzenie 11.2.1

Liczba n- wyrazowych wariacji bez powtórzeń w zbiorze m elementowym wynosi m*(m-1)* (m-2)* ...*(m-n+1).

Niech A= {1,2,3}. Wszystkie 2 wyrazowe wariacje bez powtórzeń w tym zbiorze to ciągi:
(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2). Jest ich 6.

Pewna firma dysponuje pięcioma wolnymi stanowiskami pracy. Zgłosiło się 15 kandydatów, z których każdy może zająć dowolne z dostępnych stanowisk. Na ile sposobów można wybrać nowych pracowników firmy?

Pytamy więc, ile jest 5-cio elementowych ciągów, których wyrazy nie powtarzają się i należą do 15-to elementowego zbioru. Odpowiedź : 15*14*13*12*11.

Pytanie 11.2.1: W zawodach Olimpijskich punktuje się 6 pierwszych miejsc. Jeśli współzawodniczy 21 drużyn w tym drużyna Polska, to ile jest takich wyników Olimpiady, że drużyna Polska zajmuje jedno z punktowanych miejsc?