Przypomnijmy, że zbiory A₁,..., A_n, których sumą jest zbiór Ω stanowią podział zbioru Ωwtedy i tylko wtedy, gdy są niepuste i parami rozłączne (por. wykład 5).

Twierdzenie 13.5.1

Jeżeli zdarzenia losowe A₁,..., A_n stanowią podział przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, oraz P(A_i)>0, to dla dowolnego zdarzenia B w tej przestrzeni zachodzi równość:

P(B) = P(A₁)_*P(B| A₁) + P(A₂) _* P(B| A₂) + ... + P(A_n) _* P(B| A_n).

(2) B = &Omega ∩ B = (A₁ ∪ ... ∪ A_n) ∩ B = (A₁ ∩ B) ∪ ... ∪ (A_n ∩ B).

Z (1) wynika, że zdarzenia A_i ∩ B, A_j ∩ B wykluczają się, tzn. (A_i ∩ B) ∩ (A_j ∩ B) = ∅ , dla i ≠ j. Korzystając (2) i z definicji prawdopodobieństwa otrzymujemy:

P(B) = P((A₁ ∩ B) ∪ ... ∪ (A_n ∩ B)) = P(A₁ ∩ B) +...+ P (A_n ∩ B).

Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe P(A_i ∩ B)=P(A_i)*P(B|A_i), otrzymujemy tezę dowodzonego twierdzenia

P(B) = P(A₁)*P(B| A₁) + P(A₂) * P(B| A₂) + ... + P(A_n) * P(B| A_n). ♦

Wzór, zawarty w twierdzeniu 13.5.1, nosi nazwę wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Dane są dwie jednakowe urny. W jednej znajdują się 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej cztery kule czarne i jedna biała. Z przypadkowo wybranej urny wybieramy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kule bialą, jeżeli prawdopodobieństwo wybrania każdej z urn wynosi ½?

Rozwiązanie. Przyjmijmy następujące oznaczenia zdarzeń: niech B oznacza wybranie kuli białej. U₁ wybranie kuli z urny pierwszej i U₂ wybranie kuli z urny drugiej. Przestrzeń zdarzeń elementarnych, polegających na wybraniu jednej kuli, rozpada się na dwa podzbiory: wybrana kula pochodzi z urny U₁, wybrana kula pochodzi z urny U₂. Aby policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia B, zastosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite:

Telewizory produkują dwie fabryki, z których jedna wykonuje 60%, a druga 40% całej produkcji. Pierwsza fabryka wypuszcza na rynek 90% telewizorów bez braków, a druga 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo kupienia telewizora bez braku?

Przyjmijmy następujące oznaczenia F_i= "telewizor wyprodukowała fabryka i-ta" i=1, 2. A= "kupiony telewizor nie ma braku". Zdarzenia F_1,F₂ dzielą przestrzeń wszystkich zdarzeń elementarnych na dwa rozłączne podzbiory. Mamy P(F₁)=6/10, P(F₂)= 4/10. Tak jak w poprzednim przykładzie, aby wyliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, zastosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: P(A) = P(F₁)_*P(A|F₁) + P(F₂) _*P(A|F₂). Ponieważ

Pytanie 13.5.1 Dane są dwie urny. Pierwsza zawiera 4 kule białe i 5 czarnych, a druga 5 białych i 4 czarne. Wylosowano jedną kulę z pierwszej urny i przeniesiono do drugiej, bez sprawdzania koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny?

Twierdzenie 13.5.2

Niech zdarzenia losowe A₁,...A_n stanowią podział przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, oraz P(A_i)>0 dla i =1,2...n. Wtedy dla dowolnego zdarzenia B zachodzi wzór, zwany wzorem Bayesa:

P(B|A_i)_*P(A_i)

P(A_i|B) = ------------------------------------------------------------------------

P(A₁)_*P(B| A₁) + P(A₂) _* P(B| A₂) + ... + P(A_n) _* P(B| A_n)

Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite i wstawiając go w miejsce P(B) w powyższym wzorze, otrzymujemy tezę twierdzenia 13.5.2. ♦

Wzór Bayesa możemy odczytać następująco: jeśli możliwymi przyczynami zajścia zdarzenia B (skutku), są zdarzenia A₁, ..., A_n, to P(A_i|B) wyznacza prawdopodobieństwo, że przyczyną zajścia zdarzenia B jest właśnie A_i .

W pewnym sklepie jest 230 żarówek wyprodukowanych przez trzy fabryki: 100 żarówek z fabryki F₁, 50 z fabryki F₂ i 80 z fabryki F₃. Wiadomo, że fabryka F₁ produkuje 3% braków, fabryka F2 - 2% braków, a F3 - 4% braków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona wadliwa żarówka pochodzi z i-tej fabryki?

Rozwiązanie. Zdarzenie elementarne polega na wybraniu jednej żarówki z 230 możliwych. Jest więc 230 zdarzeń elementarnych. Niech A oznacza zdarzenie polegające na zakupieniu wadliwej żarówki. Prawdopodobieństwo, że jedna konkretna żarówka pochodzi z fabryki F_i wynosi odpowiednio:

Natomiast, prawdopodobieństwo, że zakupiono wadliwą żarówkę pod warunkiem, że została ona wyprodukowana przez fabrykę F_i wynosi

Zatem P(A) = P(A|F₁) P(F₁) + P(A|F₂) P(F₂) + P(A|F₃) P(F₃) = 72/2300.

Wiedząc, że zakupiona żarówka jest wadliwa, na mocy wzoru Bayesa, obliczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówkę tę wyprodukowała fabryka F_i:

Pytanie 13.5.2 W pewnej Uczelni dziewczęta stanowią 1/6 ogółu studentów. Wśród dziewcząt co czwarta ma bardzo dobre stopnie, podczas gdy wśród chłopców tylko 1 na 10 ma bardzo dobre wyniki. Wylosowano studenta X z bardzo dobrymi stopniami. Co jest bardziej prawdopodobne to, że X jest dziewczyną, czy to, że X jest chłopcem?