| « poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja 14.1.1
Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Każdą funkcję określoną na zbiorze Ω i o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych nazywać będziemy zmienną losową. Jeśli zmienna przyjmuje co najwyżej przeliczalną liczbę wartości, to będziemy ją nazywali zmienną losową dyskretną.
W przedstawionym wykładzie rozważać będziemy tylko dyskretne zmienne losowe. Co więcej, przestrzeń zdarzeń elementarnych, w której określone są zmienne losowe będzie skończona. Wszystkie zmienne losowe określone w skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych są zmiennymi dyskretnymi.
Przykład 14.1.1
(a) Rzut jedną kostką. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ωskłada się z 6 elementów 1,2...6. Funkcja
Y(i) = 1, gdy i jest parzyste
Y(i) = 0, gdy i jest nieparzyste
jest przykładem zmiennej losowej w przestrzeni Ω. Innym przykładem zmiennej losowej w tej samej przestrzeni może być funkcja X(i) = i dla i = 1,2...,6.
(b) Rzut dwiema kostkami. Zdarzenia elementarne wij = (i,j), gdzie i, j =1, 2,...,6. Przykładami zmiennych losowych w tej przestrzeni zdarzeń elementarnych są funkcje X, Y, Z określone następująco: dla dowolnych i,j = 1, 2,..., 6
X(wij) = i+j,
Y(wij) = i/j,
Z(wij) = max(i,j).
Podobnie jak niezależność zdarzeń, wprowadza się pojęcie niezależności zmiennych losowych. Jeśli XK(data) oznacza zmienną losową podającą w zależności od daty liczbę stłuczek samochodowych w Krakowie, a XW (data) oznacza zmienną losową podającą w zależności od daty liczbę stłuczek samochodowych w Warszawie, to intuicja podpowiada, że są to zmienne niezależne: liczba stłuczek w Warszawie nie powinna mieć wpływu na liczbę stłuczek w Krakowie. Przyjmuje się następującą definicję niezależności zmiennych losowych.
Definicja 14.1.2
Powiemy, że dwie zmienne losowe X i Y są niezależne wttw dla dowolnych przedziałów I, J zbioru liczb rzeczywistych
P (X ∈ I i Y ∈ J) = P(X ∈ I) * P(Y ∈ J)
Jeśli zmienne X i Y są zmiennymi dyskretnymi, to niezależność zmiennych wyraża się warunkiem:
P(X=x i Y= y) = P(X=x) * P(Y=y) dla dowolnych x,y ∈ R.
Przykład 14.1.2
Rozważmy doświadczenie z rzutem dwiema kostkami do gry. W przestrzeni zdarzeń elementarnych złożonej z 36 par liczb, zdefiniujemy zmienne losowe X, Y i Z następująco X(i,j) = i , Y(i,j) = j, Z(i,j) = i+j dla i, j =1,2,...,6. Zmienna X określa liczbę wyrzuconych oczek na pierwszej kostce, a zmienna Y liczbę wyrzuconych oczek na drugiej kostce. Niech A oznacza zdarzenie "liczba oczek na kostce pierwszej nie jest większa niż 3", tzn. X ≤ 3, oraz niech B oznacza zdarzenie "liczba oczek na drugiej kostce wynosi co najmniej 5, tzn. Y ≥ 5.
Mamy P(A) = 1/2 = P(X ≤ 3), P(B) =1/3 =P(Y ≥ 5), P(A ∩ B)= P(A)*P(B), co oznacza, że zdarzenia A i B są niezależne. Ponadto, dla dowolnych k ≤ 6 i l ≤ 6 mamy
P(X=k i Y=l) = 1/36 = P(X=k) * P(Y=l)
tzn. zmienne losowe X i Y są zmiennymi niezależnymi.
Pytanie 14.1.1 Czy zmienne X i Z określone w przykładzie 14.1.2 są niezależne?
| « poprzedni punkt | następny punkt » |