Definicja 14.5.1

Wariancją zmiennej losowej X, oznaczaną przez V(X), nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej (X-EX)², tzn.V(X) = E((X-EX)²).

Jeśli X jest zmienną dyskretną o rozkładzie prawdopodobieństwa {(x_i,p_i)}_i=1,...n, oraz E(X) = m, to

V(X) = (x₁- m)^{2 ⋅} p₁ +...+ (x_n -m)² ⋅ p_n.

Z podanej definicji widać, że jeśli wartości badanej zmiennej losowej istotnie odbiegają od wartości średniej, to wariancja V(X) ma dużo większą wartość niż w przypadku, gdy wartości badanej zmiennej są skupione wokół wartości oczekiwanej E(X). W związku z tym wariancję uważa się za miarę rozproszenia wartości zmiennej losowej wokół średniej. Im bardziej wartości zmiennej skupiają się wokół wartości oczekiwanej, tym mniejszą liczbą jest wariancja.

Twierdzenie 14.5.1

Dla dowolnej zmiennej losowej dyskretnej

V(X) = E(X²) - (EX)² oraz
dla dowolnego c ≠ E(X), V(X) < E((X-c)²).

Ad.(a). Korzystając z wcześniej udowodnionych własności dla wartości oczekiwanej, mamy

V(X) = E((X-m)²) = E(X² - 2X ⋅ m + m²) = E(X²) - 2E(X) ⋅ m + m² = E(X²) - m² .

E((X-c)²) = E(((X-m) + (m -c))²) = E((X-m)² + 2(X-m)(m-c) + (m-c)²) = E((X-m)²) + 2(m-c)E(X-m) + (m-c)² .

Ponieważ E(X-m) = 0, zatem E((X-c)²) = V(X) + (m-c)². Na mocy założenia c ≠ m, więc (m-c)²>0 i w konsekwencji V(X) < E[(X-c)²]. ♦

Twierdzenie 14.5.2

Jeżeli V(X) jest wariancją zmiennej losowej dyskretnej X, a V(Y) jest wariancją zmiennej losowej dyskretnej Y, to dla dowolnej stałej rzeczywistej c,

(1) V(cX) = c²V(X),

(2) Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to V(X+Y)= V(X) + V(Y).

Ad.(2) Ponieważ X i Y są niezależne, więc również (X-c) i (Y-c) są zmiennymi niezależnymi. Stąd i z twierdzenia 14.4.2, E((X-EX)(Y-EY)) = E(X-EX) ⋅ E(Y-EY) = 0.

Wykorzystując powyższy fakt i własności wartości oczekiwanej sformułowane w twierdzeniu 14.4.1 otrzymujemy

Ostatni z parametrów, który zaprezentujemy w tym wykładzie to odchylenie standardowe.

Definicja 14.5.2

Liczbę nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej X.

Na egzaminie podano 30 pytań. Za każde z nich można dostać 1 punkt, o ile poprawnie wybierze się jedną z trzech możliwych. Załóżmy, że decyzje o wyborze odpowiedzi są podejmowane niezależnie dla każdego pytania i, że wybór każdego z wariantów odpowiedzi jest tak samo prawdopodobny. Jaka jest wartość oczekiwana zmiennej losowej Y opisującej wynik egzaminu i jaka jest wariancja tej zmiennej? Wartościami rozważanej zmiennej Y są liczby naturalne 0, 1, 2, ..., 30. Zauważmy, że zmienna Y może być potraktowana jako suma zmiennych X_i odpowiadających kolejnym pytaniom i = 1, 2, ..., 30. Zmienna X_i przyjmuje wartość 1 lub 0 i, wobec przyjętych założeń, ma rozkład P(X_i=1) = 1/3, P(X_i=0) = 2/3. Wartość oczekiwana zmiennej X_i jest taka sama dla wszystkich i, i wynosi

V(X_i) = E((X_i -E(X_i))² ) = E((X_i -(1/3))² )= (2/3)^{2 ⋅} (1/3) + (-1/3)² ⋅ (2/3) = 2/9.

E(Y) = E(X₁ + X₂ + ... + X₃₀) = E(X₁) + E(X₂) + ...+ E(X₃₀) = 30/3 = 10.

Wariancję zmiennej Y policzymy wykorzystując twierdzenie 14.5.2, a właściwie jego uogólnienie na dowolną liczbę składników. Mamy

V(Y) = V(X₁ + X₂ + ... + X₃₀) = V(X₁)+ V(X₂)+ ...+ V(X₃₀) = 30 (2/9) = 6.666.

Pytanie 14.5.1 Czy dla dowolnych dwóch niezależnych zmiennych losowych dyskretnych X i Y, określonych w tej samej przestrzeni zdarzeń, V(X+Y) = V(X-Y)?

W dalszym ciągu rozważymy pewne znane rozklady prawdopodobieństwa i wyznaczymy dla nich wartości średnie i wariancje.

Lemat 14.5.1

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie zerojedynkowym P(X=1) = p i P(X=0) = 1-p.

Wtedy EX = p oraz VX = p(1-p).

Lemat 14.5.2

Niech zmienna losowa X opisuje liczbę sukcesów w schemacie Beroulliego z parametrami n i p. Wtedy E(X) = np oraz V(X) = np(1-p).

Jak ustaliliśmy wcześniej, zmienna X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, tzn. jej rozkład jest określony wzorem:

Obliczymy wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe dla tej zmiennej. Zamiast jednak badać samą zmienną X rozważmy rodzinę zmiennych X_i, takich, że X_i odpowiada i-temu doświadczeniu

X_i(sukces w i-tym doświadczeniu) = 1 i X_i(porażka w itym doświadczeniu) = 0 .

Mamy P(X_i=1) = p, P(X_i=0)=1-p, a stąd E(X_i) = p, E(X_i²) = p, V(X_i) = p(1-p)

Zmienna losowa X jest sumą rozważanych zmiennych X = X₁ + ...+ X_n. Ponieważ zmienne X_i są niezależne, zatem, na mocy przytoczonych w poprzednim punkcie twierdzeń, mamy

Lemat 14.5.3

Niech zmienna X ma rozkład geometryczny, tzn. rozkład określony następująco:

f_X(k) = P(X=k) = p (1-p)^k-1dla k = 1, 2, 3,...

Wtedy wartość oczekiwana zmiennej X , EX = 1/p. ♦

Jeśli q jest małe to możemy założyć, że zdarzenia "żarówka przepali się w ciągu k tej godziny" są niezależne. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartość k, jeśli żarówka przepali się w ciągu k godzin. Wtedy P(X=k) = (1-q) ^k-1 q. Zmienna X ma rozkład geometryczny, zatem wartość oczekiwana zmiennej X wynosi 1/q.

Pytanie 14.5.2 Niech A będzie podzbiorem pewnego skończonego uniwersum U. Ze zbioru U wybieramy losowo jeden element. Załóżmy, że wszystkie wybory są tak samo prawdopodobne. Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartość 1, gdy wybrany element należy do zbioru A, a wartość 0 dla pozostałych elementów. Jaka jest wartość wariancji tej zmiennej losowej?