W tym wykładzie pojęcie zbioru potraktujemy nieformalnie, oprzemy się raczej na intuicjach, które już Czytelnik posiada, niż na definicji. Zbiór jest dla nas kolekcją przedmiotów (obiektów) posiadających pewną wspólną cechę. Ale uwaga: tak beztroskie traktowanie pojęcia zbioru może prowadzić do poważnych sprzeczności. Wrócimy do tego problemu jeszcze raz w podsumowaniu wykładu. Teraz rozpoczniemy od kilku przykładów.

• Zbiór studentów pierwszego roku PJWSTK.
• Zbiór identyfikatorów danego programu.
• Zbiór komórek pamięci komputera, wykorzystywanych podczas realizacji programu.
• Zbiór wszystkich liczb naturalnych N, czyli 0, 1, 2...
• Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R.

Zamiast mówić, że 5 jest liczbą naturalną, mówimy, że 5 należy do zbioru N i piszemy 5 ∈ N. O liczbie 5 mówimy, że jest elementem zbioru N, a symbol ∈ nazywamy relacją należenia do zbioru. Jeśli chcemy zaznaczyć, że jakiś obiekt x nie należy do zbioru X, to piszemy x ∉ X. Na przykład 2.5 ∈ R ale 2.5 ∉ N. Oczywiście, każdy element albo należy albo nie należy do wskazanego zbioru.
Zbiory przedstawione w przykładach (1)-(3) mają wspólną cechę (własność) polegającą na tym, że ich elementy można wymienić. Po prostu, są to zbiory o skończonej liczbie elementów. Mówimy o nich, że są skończone. Zbiory N i R nie mają już tej cechy - są przykładami zbiorów nieskończonych.

Zbiory możemy określać (czy definiować) na różne sposoby. Najczęściej

• przez wyliczenie elementów,

• przez podanie cech (własności) wyróżniających w pewien sposób elementy zbioru,

• przez podanie metody obliczania kolejnych elementów.

Wyjaśnimy to na przykładzie.

Przykład 1.1.1

Niech jedynymi elementami pewnego zbioru X będą liczby 1,3,5,7,9. Zapiszemy ten fakt jako

X = {1,3,5,7,9}.

Nawiasy klamrowe symbolizują zbiór, a przecinki oddzielają poszczególne elementy zbioru.

Ten sam zbiór X możemy określić wymieniając właściwości charakteryzujące jego elementy: X jest zbiorem tych liczb naturalnych, nieparzystych, które nie przekraczają 10.

X = {x : x jest liczbą naturalną, nieparzystą i x<11} lub
X = {x ∈ N : x jest liczbą nieparzystą, mniejszą od 11}.

Na koniec, zbiór X możemy opisać podając przepis, według którego obliczamy jego elementy:

Piszemy X = {2i-1: i=1,2,3,4,5}.

To ostatnie sformułowanie jest szczególnie miłe sercu informatyka, który zwykle poszukuje algorytmicznych metod rozwiązywania zadań.

Przykład 1.1.2

Niech A będzie dwuelementowym zbiorem, A = {0,1}. Określimy nowy zbiór A*, jako zbiór wszystkich skończonych ciągów, włączając w to ciąg pusty, o elementach ze zbioru A. Zbiór A* nazywamy zbiorem słów nad alfabetem A. Przykładami elementów zbioru A* są słowa (001), (000101), (111). Zbiór A* zawiera nieskończenie wiele elementów. W informatyce, ciągi tego typu służą do kodowania np. liczb. Jeśli (a_n...a₀) jest  (n+1)-elementowym słowem z A*, to ciąg ten reprezentuje (koduje) liczbę a₀ 2⁰ + a₁ 2¹ +... +a_n 2ⁿ, na przykład ciąg (101) jest kodem liczby 5, a (1000) jest kodem liczby 8.

Zwróćmy jeszcze uwagę na jeden wyróżniony zbiór: zbiór, który nie posiada elementów. Nazywamy go zbiorem pustym i oznaczamy przez ∅. Jest tylko jeden taki zbiór. Jeśli Y jest zbiorem tych liczb naturalnych, których kwadraty są liczbami ujemnymi, to Y nie posiada ani jednego elementu, Y jest zbiorem pustym.

Uwaga. Zwykle zbiory oznaczać będziemy dużymi, a ich elementy małymi literami.