Tę samą własność możemy zapisać inaczej w postaci warunku: dla dowolnych x₁, x₂ ∈ X,

jeśli f(x₁) = f(x₂), to x₁= x₂ dla dowolnych x₁, x₂ ∈ X.

Funkcje różnowartościowe nazywamy inaczej injekcjami. Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja przedstawiona na rysunku 4.1.3. Natomiast wszystkie funkcje przedstawione na rysunku 4.1.4 nie są różnowartościowe. Funkcja f(x) = |x|, Rys. 4.1.4(a), nie jest różnowartościowa, bo np. f(5) = 5 = f(-5). Funkcja schodkowa, Rys. 4.1.4(b), nie jest różnowartościowa, bo np. dla wszystkich argumentów z przedziału (0,1] przyjmuje tę samą wartość 1. Funkcja przedstawiona na rysunku 4.1.4(c) nie jest różnowartościowa, bo dla  różnych argumentów, przyjmuje te same wartości, np. h(0) = 2 = h(4).

Zwróćmy uwagę, że aby udowodnić, że dana funkcja f jest różnowartościowa, musimy wykazać, że dla dowolnej pary elementów x₁, x₂ z dziedziny funkcji, f(x₁) ma inną wartość niż f(x₂). Natomiast dowód, że funkcja nie jest różnowartościowa, wymaga znalezienia tylko jednej pary (tzw. kontrprzykładu), która nie spełnia warunku definicji.

Pytanie 4.2.1: Która z funkcji przedstawionych w przykładzie 4.1.1 jest różnowartościowa?

Inaczej mówiąc, funkcja jest "na", jeżeli jej zbiorem wartości jest zbiór Y, Im(f) = Y. O takiej funkcji mówimy, że jest surjekcją i zapisujemy ten fakt krótko w postaci f : X → ^naY.

Przykład 4.2.1

1. Funkcja g zdefiniowana wzorem g(n) = (-1)ⁿ dla n ∈ N przyjmuje jako swoje wartości jedynie liczby -1, 1. Rzeczywiście, wartością funkcji dla wszystkich liczb parzystych i dla zera jest 1, a wartością funkcji dla liczb nieparzystych jest -1. Jest to zatem odwzorowanie "na" zbiór {-1,1}, g : N → ^na{-1,1}.
   Funkcja g nie jest różnowartościowa, ponieważ np.: g(2) = g(4).
2. Funkcja f: N → P, określona dla dowolnej liczby naturalnej n jako f(n) = 2n, jest przykładem odwzorowania różnowartościowego. Jeżeli n i m są różnymi liczbami naturalnymi, to 2n ≠ 2m. Ponadto jest to odwzorowanie "na" zbiór liczb parzystych P, bo dla dowolnej liczby parzystej k istnieje liczba naturalna, a mianowicie k/2, taka, że f(k/2) = k.
3. Funkcja f : N × N → N, która uporządkowanym parom liczb naturalnych przypisuje liczbę naturalną zgodnie ze wzorem f(n,m) = n + (n+m+1)(n+m)/2, jest funkcją różnowartościową i "na" zbiór liczb naturalnych N. Nazywamy ją funkcją pary.
4. Niech r będzie relacją w R, r = {(x,y) ∈ R × R : y = 2x/(x² +1)}. Relacja ta jest funkcją całkowitą, bo każdej wartości rzeczywistej a przypisuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą równą 2a/(a² +1). Nie jest to odwzorowanie "na" zbiór liczb rzeczywistych R, bo nie istnieje taka liczba rzeczywista, której byłaby przyporządkowana liczba 4. (Gdyby dla pewnego x, 2x/(x² +1) = 4, to mielibyśmy 4 x² +4 -2x = 0, co nie jest możliwe, bo Δ < 0). Aby zbadać przeciwdziedzinę funkcji r zauważmy, że

-(x² + 1) ≤ 2x oraz 2x ≤ x² + 1

Funkcję f: X → Y, która jest równocześnie różnowartościowa i "na" nazywamy wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją.

W dalszym ciągu wykładu będą nas interesowały pewne szczególne funkcje (ciągi) różnowartościowe i "na" określone na zbiorze X i o wartościach w zbiorze X. Na przykład ciąg p = (3,4,5,6,0,1,2) jest funkcją p określoną na zbiorze {0,1,2,...,6}, której wartości określone wzorem p(i) = (i+3) mod 7 wyczerpują zbiór {0,1,2,...,6}. Tego typu funkcje nazywać będziemy permutacjami.

Przykład 4.2.2

Każdą liczbę naturalną możemy przedstawić w postaci ciągu cyfr w systemie dziesiętnym lub w innym, np. dwójkowym(binarnym), ósemkowym itd. Na przykład 12 = (1100) ₂ = (14) ₈ = (110) ₃. Funkcja bin : N → {0,1}* , która każdej liczbie naturalnej przypisuje jej reprezentację w systemie dwójkowym, jest funkcją wzajemnie jednoznaczną :

1. każdy skończony ciąg zerojedynkowy odpowiada pewnej liczbie naturalnej, a mianowicie (a_k, a_k-1, ..., a₀) ₂ = (a_k2^k +a_k-12 ^k-1+...+ a₀ 2⁰).
2. każda liczba naturalna n ma swoją unikatową reprezentację binarną, którą uzyskujemy dzieląc wielokrotnie liczbę n przez 2 i zapamiętując resztę z każdego dzielenia jako kolejną pozycję (od końca) szukanego ciągu. Opisany algorytm wyznacza funkcję bin i można go zapisać w postaci:

begin
   if n=0 then bin(n) := 0 else
      i := 0; while n >0 do a_i := n mod 2; n := n div 2; i := i+1 od;
      bin(n) := (a_i-1,a_i-2,...,a₀);
   fi
end

Pytanie 4.2.2: Czy funkcja f : N\{0} → N określona wzorem f(n) = n * ⎣ lg n ⎦ dla n>0 jest odwzorowaniem "na" zbiór liczb naturalnych ( ⎣ lg n ⎦ oznacza część całkowitą logarytmu przy podstawie 2 z n)?

Zadanie 4.2.1

Zaprojektuj algorytm, który znajduje reprezentację trójkową dowolnej liczby naturalnej.