« poprzedni punkt   następny punkt »


4.4. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcje

Definicja 4.4.1

Obrazem zbioru A ⊆ X wyznaczonym przez funkcję f : X → Y nazywamy zbiór f(A) wartości jakie przyjmuje ta funkcja dla argumentów ze zbioru A, (por. Rys. 4.4.1(a))

f(A) = {y : istnieje x ∈ A, f(x) = y}.

Przykład 4.4.1

  1. Niech X będzie zbiorem studentów PJWSTK i niech f : S → N będzie funkcją, która każdemu studentowi przypisuje numer grupy ćwiczeniowej, do której ten student należy. Załóżmy, że na pierwszym roku jest 20 grup, ponumerowanych od 101 do 120. Wtedy obrazem zbioru A studentów 1-go roku wyznaczonym przez funkcję f jest dwudziestoelementowy zbiór {101, 102,...120}.
  2. Niech g: R → R, g(x) = sin(x) oraz A = [-pi, - pi/2], B = [pi/2, pi]. Wtedy g(A) = [-1,0] i g(B) = [0, 1].
  3. Niech h : R+ → R, h(x) = lg x (R+ oznacza zbiór liczb rzeczywistych >0) i niech A = [0, 4], B= [2, 8] . Wtedy h(A) = (- ∝, 2] i h(B) = [1, 3], por. Rys. 4.4.1(b).

Rys. 4.4.1 Obraz zbioru otrzymany przy pomocy funkcji.

Lemat 4.4.1

Dla dowolnych zbiorów A, B ⊆ X i dla dowolnej funkcji f : X → Y,

  1. f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B),
  2. f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B).

Dowód.

Ad 1. Pierwsza z równości jest dość oczywista:

y ∈ f(A ∪ B) wttw y = f(x) dla pewnego x ∈ A ∪ B wttw x ∈ A i y =f(x) lub x ∈ B i y =f(x) wttw y ∈ f(A) lub y ∈ f(B) wttw y ∈ f(A) ∪ f(B).

Ad 2. Dowód drugiej własności jest analogiczny jeżeli y ∈ f(A ∩ B), to y = f(x) dla pewnego x ∈ A ∩ B. To z kolei pozwala wywnioskować, że dla pewnego y,  x ∈ A i x ∈ B i y = f(x), a zatem y ∈ f(A) i y ∈ f(B) co jest równoważne y ∈ f(A) ∩ f(B).

Zastanówmy się jeszcze dlaczego w przypadku (2) nie ma równości. Przeanalizujmy, jeszcze raz przykłady. Dla funkcji g z przykładu 4.4.1(2), g(A ∩ B) jest zbiorem pustym, a g(A) ∩ g(B) = {0}. Natomiast dla funkcji h z przykładu 4.4.1(3) mamy: A ∩ B =[2, 4], h(A ∩ B) =[1, 2]= (- ∝ , 2] ∩ [1, 3] =[1, 2], por. Rys. 4.4.1(b).

Pytanie 4.4.1: Jaki warunek musi spełniać funkcja f, by f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) dla dowolnych zbiorów A i B.

Definicja 4.4.2

Przeciwobrazem zbioru B ⊆ Y wyznaczonym przez funkcję f nazywamy zbiór f -1(B) złożony z tych argumentów funkcji f, dla których wartości należą do B, (por. Rys. 4.4.2(a)),

f -1(B) = { x ∈ X : f(x) ∈ B}.

Rys. 4.4.2 Przeciwobraz zbioru wyznaczony przez funkcję.

Na rysunku 4.4.2 (b) zaznaczono przeciwobraz zbioru [3, 5] dla funkcji |x|. Przeciwobrazy pewnych zbiorów wyznaczone przez funkcje z przykładu 4.4.1 przedstawiamy poniżej.

  1. f -1({101,102}) = wszyscy studenci 1-go roku, którzy należą do grup ćwiczeniowych 101 i 102.
  2. g(x) = sin x,     g -1({0}) = {kπ : k ∈ Z}, g-1 ([-1,1]) = R .
  3. h(x) = lg x,    h -1([2,5]) = {x ∈ R : 4 ≤ x ≤ 32}.

Lemat 4.4.2

Dla dowolnych zbiorów A,B ⊆ Y i dowolnej funkcji f : X → Y,

  1. f -1 (A ∪ B) = f -1 (A) ∪ f -1 (B),
  2. f -1 (A ∩ B) = f -1 (A) ∩ f -1 (B).

Dowód w obu przypadkach jest bardzo podobny. Przedstawimy dla przykładu uzasadnienie wzoru (2):

x ∈ f -1 (A ∩ B) wttw f(x) ∈ (A ∩ B) wttw f(x) ∈ A i f(x) ∈ B wttw x ∈ f -1(A) i x ∈ f -1(B) wttw x ∈ f -1 (A) ∩ f -1 (B).

Pytanie 4.4.1: Niech f : R → R, będzie funkcją określoną wzorem f(x) = x 2 -5x + 4. Wyznaczyć f(R\R+ ) oraz f -1 ( {0,4}).

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt   następny punkt »