Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcją zdaniową jednej zmiennej x, której zakresem zmienności jest przestrzeń X, nazywamy wyrażenie α(x), w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy w miejsce zmiennej x wstawimy dowolny obiekt ze zbioru X.

Przestrzeń X może sama być produktem kartezjańskim zbiorów X₁ × ... × X_n. Wtedy zmienna x przyjmuje jako wartości elementy tego produktu. Mówimy wówczas, że mamy do czynienia z funkcją zdaniową n-argumentową. Zwykle, dla uproszczenia zapisu, będziemy pisali α(x), rozumiejąc, że x może być jedną zmienną lub wektorem zmiennych.

Przykład 8.1.1

1. α(x) = (2x + x²) >0 dla x ∈Z, jest funkcją zdaniową zależną od jednej zmiennej x przebiegającej liczby całkowite. Jeśli za x podstawimy konkretną wartość, np. 5, to wartością funkcji α(x) jest prawda, ponieważ (10+25) jest liczbą dodatnią. Jeśli wartością x jest liczba -1, to wartością funkcji zdaniowej α(x) jest w tym przypadku fałsz, bo (2*(-1) + (-1) ² ) < 0.
2. β(x,y) = (x² + y² ) >0 dla (x,y) ∈R², jest funkcją zdaniową zależną od dwóch zmiennych x i y przyjmujących wartości rzeczywiste. Jeśli na miejsce zmiennych wstawimy konkretne liczby, to otrzymamy zdanie, np." jeden do kwadratu dodać dwa do kwadratu jest liczbą dodatnią", albo "zero do kwadratu dodać zero do kwadratu jest większe od zera". W pierwszym przypadku otrzymane zdanie jest prawdziwe, a w drugim fałszywe.
   

Pytanie 8.1.1

1. Zapisz słowami, możliwie krótko, następującą funkcję zdaniową wyrażającą własność liczb rzeczywistych a, b: ( a * b) >(a + b).
2. Zapisz przy użyciu odpowiednich symboli zdanie "Kwadrat sumy dwóch liczb rzeczywistych a, b jest nie mniejszy od sumy kwadratów tych liczb."

Uwaga: Funkcja zdaniowa f(x), jednej zmiennej x, jest po prostu funkcją określoną w pewnym zbiorze X i o wartościach w dwuelementowym zbiorze {0,1}, f : X → {0,1}, taką że dla dowolnego x ∈X, f(x) jest zdaniem w sensie rachunku zdań i ma wartość 1 tylko wtedy gdy jest to zdanie prawdziwe.

Funkcje zdaniowe (inaczej predykaty) można łączyć spójnikami logicznymi, jakie poznaliśmy w poprzednim wykładzie. Powstają w ten sposób nowe, złożone funkcje zdaniowe. Będziemy o nich mówili: predykaty złożone lub formuły rachunku predykatów. Zatem, jeśli α(x) i β(x) są dowolnymi predykatami, to

są predykatami złożonymi.

Przykład 8.1.2

Następujące wyrażenia są przykładami złożonych predykatów:

1. ((x-3 = 0) ∨(x+y < 4)) → (y< 1),
2. (A ∩ B ⊆ C → (A ⊆ C ∧ B ⊆ C)),
3. jeśli Adam jest synem Andrzeja i Andrzej lubi muzykę klasyczną, to Adam lubi muzykę klasyczną.

Pytanie 8.1.2 Niech p(x) oznacza, że x jest liczbą parzystą, a mod₄(x) jest funkcją, która daje w wyniku resztę z dzielenia x przez 4, a " /2 " oznacza operację dzielenia przez 2. Zapisać zdanie "jeśli x jest liczbą parzystą i x dzieli się przez 4, to x podzielone przez 2 też jest liczbą parzystą."