Logika predykatów jest istotnie bogatsza niż rachunek zdań. W rachunku predykatów możemy formułować zdania o elementach dowolnych struktur. Możemy charakteryzować własności funkcji i relacji. Dzięki temu możemy przy pomocy formuł charakteryzować własności struktur algebraicznych, możemy specyfikować struktury danych i programy.

Rachunek predykatów, podobnie jak rachunek zdań, jest skończenie aksjomatyzowalny, tzn. istnieje skończony zbiór schematów tautologii oraz skończony zbiór reguł wnioskowania taki, że każde udowodnione zdanie jest prawdziwe i każde zdanie prawdziwe ma formalny dowód w tym systemie. Jest jednak poważny mankament: rachunek predykatów nie jest rozstrzygalny, w przeciwieństwie do rachunku zdań. Nie ma jednorodnej metody, która by pozwalała o dowolnej formule rachunku predykatów stwierdzić w skończonej liczbie kroków, czy jest ona prawdziwa czy nie. Oczywiście, jeśli wiemy, że formuła jest twierdzeniem rachunku predykatów, to możemy się o tym przekonać np. wypisując wszystkie możliwe dowody. Niestety takie postępowanie musi dużo kosztować.

Jest jeszcze jeden problem: nie wszystkie własności da się wyrazić w języku rachunku predykatów. Jedną z prostszych jest właściwość 'być zbiorem skończonym'. Dla dowolnego n, umiemy napisać formułę, która stwierdza, że uniwersum rozważanej struktury jest n elementowe. Jednak nie ma takiej formuły w logice klasycznej, której prawdziwość świadczyłaby o tym, że jakiś zbiór jest po prostu skończony. Tym niemniej, wiele interesujących nas własności, także własności programów i struktur danych, zapisujemy w języku rachunku predykatów, a do uzasadnienia poprawności naszych rozumowań, stosujemy reguły wnioskowania i tautologie rachunku predykatów.

Naszym zdaniem, najważniejszy w tym wykładzie jest punkt dotyczący kwantyfikatorów. Przy pierwszym czytaniu radzimy Czytelnikowi pominąć formalny opis języka i semantyki. Jeśli Czytelnik dobrze zrozumie sens kwantyfikatorów i nauczy się posługiwać nimi, to formalne podejście nie będzie stwarzało żadnych trudności.

Uwagi bibliograficzne:

Jest wiele świetnych pozycji w polskiej literaturze przedstawiających różne aspekty rachunku predykatów. Czytelnikowi, który chciałby poznać lepiej logikę klasyczną polecamy książkę H.Rasiowej "Wstęp do matematyki współczesnej", gdzie znajduje się obszerny rozdział poświęcony logice, oraz monografię A.Grzegorczyka "Zarys logiki matematycznej". Czytelnika, którego interesują zastosowania logiki w informatyce odsyłamy do książki G.Mirkowska i A.Salwicki "Logika dla programistów".